6174: Matematikçileri 70 yıldır büyüleyen esrarengiz sayı
Dört basamaklı bir sayı seçin, herhangi bir dört basamaklı sayı… Tek şart, rakamların hepsinin aynı olmaması. Şimdi en fazla yedi adımda bir muammaya ulaşacaksınız. Hem de her defasında.
Bu sayıya iyi bakın: 6174.
İlk anda pek bir numarası var gibi durmayabilir, ancak bu sayı 1949'dan bu yana matematikçileri ve matematik meraklılarını büyülemeyi sürdürüyor.
Peki ama neden? Şimdi şu adımları birlikte uygulayalım ve nedenini kendiniz görün:
- Dört basamaklı bir sayı seçin, en az iki hanesi farklı rakamlardan oluşan herhangi bir sayı. Mesela 1234.
- Rakamları büyükten küçüğe doğru sıralayın: 4321.
- Şimdi rakamları küçükten büyüğe doğru sıralayın: 1234.
- Elde ettiğiniz büyük sayıdan küçük sayıyı çıkarın: 4321 - 1234.
- Şimdi elde ettiğiniz son sayıyla 2, 3 ve 4'üncü adımları tekrar uygulayın.
Birlikte hesaplayalım:
- 4321 - 1234 = 3087
- Rakamları büyükten küçüğe doğru sıralayın: 8730
- Rakamları küçükten büyüğe doğru sıralayın: 0378
- Küçük sayıyı büyük sayıdan çıkarın: 8730 - 0378 = 8352
- Şimdi son üç adımı elde ettiğimiz son sayıyla tekrarlayalım.
Elimizdeki sayı 8352:
- 8532 - 2358 = 6174
Şimdi de aynı adımları 6174 ile tekrarlayalım, rakamları büyükten küçüğe, ardından küçükten büyüğe doğru sıralayıp, büyük sayıdan küçüğü çıkaralım:
- 7641 - 1467 = 6174
Gördüğünüz üzere bu işleme daha fazla devam etmeye gerek yok. Zira bu aşamadan sonra aynı adımları her tekrarladığınızda aynı sonuca ulaşacaksınız: 6174.
Sizce bu sadece bir tesadüf mü? Pekâlâ. O zaman herhangi bir başka sayıyla aynı işlemleri tekrarlayalım: 2005 mesela.
- 5200 - 0025 = 5175
- 7551 - 1557 = 5994
- 9954 - 4599 = 5355
- 5553 - 3555 = 1998
- 9981 - 1899 = 8082
- 8820 - 0288 = 8532
- 8532 - 2358 = 6174
- 7641 - 1467 = 6174
Yani hangi dört basamaklı sayıyı seçerseniz seçin, bu işlemleri tekrarladığınızda önünde sonunda elinize geçecek sayı 6174 olacak. O aşamadan sonra da tüm bu işlemler aynı sayıyı verecek.
Kaprekar sabiti
Tebrikler! Artık siz de Kaprekar sabiti ile tanıştınız.
Hintli matematikçi Dattatreya Ramchandra Kaprekar (1905-1986) sayılarla oynamayı seviyordu ve bu oyunları sonucunda 6174 sayısının gizemini keşfetti.
Kendisini bir rakam teorisi bağımlısı olarak adlandıran D. R. Kaprekar, 1949 yılında Hindistan'ın Madras kentinde düzenlenen bir matematik konferansında bu keşfini dünyaya açıkladı.
"Sarhoş biri, kafası aynı güzellikte kalsın diye şarap içmeye devam etmek ister. Sayılar söz konusu olduğunda benim için de aynı durum geçerli," diyordu.
Kaprekar, Mumbai Üniversitesi'nde eğitim gördü ve Mumbai'nin kuzeyindeki tepelerde yer alan Devlali kasabasında öğretmenlik yaparak geçimini kazandı.
Kaprekar'ın keşifleri, Hintli matematikçiler tarafından hor görüldü ya da aşağılandı. Bu çalışmaların gereksiz ve ilgisiz olduğunu düşünüyorlardı. Kaprekar ise oralı değildi. Aynı zamanda üretken bir yazardı ve popüler bilim dergilerinde yazıları yayımlanıyordu.
Kendine has metotları ve rakamlara dair baş döndürücü gözlemleri hakkında konuşmak üzere sık sık konferanslara ya da okullara davet ediliyordu.
Son gülen…
Zaman içinde Kaprekar'ın fikirleri hem Hindistan'da hem de ülke dışında ilgi görmeye başladı. 1970'li yıllara gelindiğinde, Amerikalı çok satan yazar ve matematik meraklısı Martin Gardner, popüler bilim dergisi Scientific America'da onun hakkında bir makale kaleme aldı.
Bugün Kaprekar ve yaptığı keşiflerin geçerliliği dünya genelinde tüm matematikçiler tarafından kabul ediliyor.
Osaka Ekonomi Üniversitesi'nden Profesör Yutaka Nişiyama, "6174 gerçekten esrarengiz bir sayı," diyor.
İnternet üzerinde yayımlanan +plus dergisindeki yazısında, Nişiyama tüm dört haneli sayıların belli bir dizi işlemden geçtikten sonra 6174'e ulaşıp ulaşmayacaklarını teyit etmesi için bir bilgisayar programından faydalandığını anlatıyor.
Bulguları mı? Tüm dört basamaklı sayılar, rakamların tümü aynı olmadığı müddetçe, Kaprekar işlemlerinin en fazla yedi adımında 6174 sayısına varıyor.
Nişiyama, "Eğer Kaprekar işlemlerini yedi kez uygulayıp 6174 sayısına ulaşamadıysanız, kesinlikle hesaplamada hata yapmışsınızdır. Dönüp bir kontrol edin," diyor.
495 de 'esrarengiz'
Matematik dünyasında bu gibi kaç tane sihirli sayı olduğunu merak ediyor olabilirsiniz. Yanıt, maalesef bilinmiyor.
Ancak bilinen bir şey var ki o da Kaprekar sabitinin üç basamaklı sayılar için de bir benzeri olduğu.
Bakalım. Gelişigüzel bir üç basamaklı sayı seçelim. 574 olsun:
- 754 - 457 = 297
- 972 - 279 = 693
- 963 - 369 = 594
- 954 - 459 = 495
- 954 - 459 = 495
Ve işte burada da sihirli sayımıza ulaştık: 495.
Matematikçiler bu sabitlerin sadece üç ya da dört basamaklı sayılarda olduğunu söylüyorlar. Ancak şimdiye dek sadece iki ila 10 basamaklı sayıları denemişler.
Rengarenk bir 6174
Scigram Technologies Foundation, merkezi Mumbai'nin güneyinde bulunan Hintli bir firma. Kırsal yörelerdeki okullar için 6174 sayısını temel alan renkli bir oyun geliştirmiş.
Şirketin kurucusu Girish Arabale, her zaman öğrencileri motive etmeye meraklı olduğunu söylüyor. Özellikle de matematikten nefret eden öğrencilere, matematiğin ne kadar eğlenceli olduğunu göstermek istiyor.
"Kaprekar sabiti öyle bir güzellik ki, tüm adımları bir bir izleyince bir anda 'Ah işte bu!' dediğiniz bir noktaya varıyorsunuz. Geleneksel matematik müfredatını okuduğunuzda çok sık başınıza gelen bir şey değil bu," diyor.
Arabale'nin ekibi bu düşünceyle, 6174'e ulaşan adımları farklı renklerle kodlamaya karar verdiler. Zaten sihirli sayıya giden bu adımların hiçbir zaman yedi işlemi geçmeyeceği biliniyordu.
Bu da STEM (bilim, teknoloji, mühendislik ve matematik) eğitiminde popüler bir araç olan, düşük maliyetli, kredi kartı büyüklüğündeki Raspberry Pi bilgisayarlarında basitçe geliştirilen bir kodun temelini oluşturdu.
Ardından öğrenciler bunu Wolfgram dilini kullanarak yorumlamaya ve programı mevcut 10 bin farklı dört basamaklı sayıya uygulamaya başladı.
Böylece de 6174 sayısına ulaşmak için izlenen adımlar bir desen oluşturdu ve çok renkli bir örgü üzerinde dizildi.
Kodlamaya başladığınızda, tek sayıları mavi, çift sayıları yeşil renkte gösterirseniz karşınıza ne gibi bir desen çıkar?
Ya da asal sayıları yeşil, kalan tüm sayıları mavi diye tanımlarsanız ne olur? Desen çok değişir mi?
Eğlence niyetine matematik
Kaprekar sabiti, sayılarla oyunlar oynamayı en büyük eğlencesi olarak gören D. R. Kaprekar'ın matematiğe tek katkısı değildi.
Muhtemelen Kaprekar sayısını da duymuş olabilirsiniz: Karesi alındığında çıkan sayının iki partisyonunun toplamı ilk sayıya tekabül eden pozitif bir sayı.
Bir örnekle daha basitçe açıklayalım:
- 297² = 88,209
- 88 + 209 = 297
Kaprekar sayılarının diğerleri de şöyle sıralanabilir: 9, 45, 55, 99, 703, 999, 2 bin 223, 17 bin 344, 538 bin 461... Siz de bu sayıları tek tek deneyin ve çıkan sonucu görün!
Ancak şu kuralı unutmayın: Karesini aldığınız sayıların partisyonlarını toplarken, partisyonları oluşturmak için basamakları mümkün olduğunca eşit şekilde ayıracaksınız, yani bir basamaklı sayı artı bir basamaklı sayı; iki basamaklı sayı artı iki basamaklı sayı gibi…
Ancak sayının karesini alınca ulaştığınız sonuç eşit basamaklı partisyonlara ayrılmıyorsa, aynen yukarıdaki beş basamaklı 88,209 örneğinde olduğu gibi, o zaman iki basamaklı bir partisyon ile üç basamaklı diğer partisyonu toplarsınız (88+209).
İşte bu yaptığınıza da Kaprekar işlemi adı verilir.
Böylece siz de matematiğin eğlenceli yüzünü görmeye başladınız, değil mi?